这段时间在学习机器学习中有关不确定性和概率分布的知识，发现了VAE这样一个有趣的方向，想抓紧时间整理一下VAE的主要思想和方法，然后思考如何迁移应用到自己的研究方向上。

从直观上理解VAE

变分自编码器（Variational Auto-Encoders，VAE）是深度生成模型的一种形式（GAN也是其中一种），VAE是基于变分贝叶斯推断的生成式网络结构。传统自编码器是通过数值方式描述潜在空间的不同，而VAE以概率的方式描述潜在空间的不同，是一种无监督式学习的生成模型。

举个简单的例子说明变分自编码模型，输入一张照片，想描述其中人物的笑容，如果用笑/没笑这样的二分类/某个单值表示则显得不是很适合（注：单值表示则是自编码器模型的特点）。更好的表述应该是用一个区间范围来表示笑的概率大小，如下图即是通过VAE的编码（encoder）得到图片中笑的概率分布情况。

通过VAE，可以将每一个特征表示为概率分布。那么如何通过这个概率分布来生成新的数据呢？这个过程叫做解码（decoder），从每个潜在状态分布中随机采样，生成一个向量，作为解码器模型的输入，从而得到新生成的结果。如下图所示，一张图片中的人物几大特征（smile skin gender beard...）通过encoder编码后生成不同特征的概率分布，这样能使decoder重新构建我们的输入。

VAE模型结构

现在学习VAE的模型结构是什么样的。如下图所示，模型分为两个部分：推断网络（编码器encoder）和生成网络（decoder）。

推断网络：用于原始输入数据的变分推断，生成隐变量的变分概率分布情况；
生成网络：根据生成的隐变量变分概率分布还原为原始数据近似概率分布。

在VAE中，假设$p(Z|X)$（后验分布）是满足正态分布的。给定一个真实样本$K_k$，假设存在一个专属于$X_k$的分布$p(Z|X_k)$，进一步假设这个分布是正态分布（独立的、多元的）。由于这个专属性，有多少个样本X就有多少个正态分布，能更好让decoder做还原。

变分自编码器和自编码器有什么根本上的区别呢？变分自编码器的encoder和decoder的输出都是受参数约束变量的概率密度分布，而自编码器是某种特定数值的编码。

VAE原理分析

想根据观察到的x，推断出潜在空间的分布：
$$p(z|x)=\frac{p(x|z)p(z)}{p(x)}$$
计算$p(x)$是很复杂的，
$$p(x)=\int{p(x|z)p(z)}dz$$
通常是个复杂的分布，我们可以用变分推断来估计这个值。
我们用另一个分布$q(z|x)$近似估计$q(z|x)$，将$q(z|x)$定义为具有可伸缩性的分布。
使用$q$来推断可能隐藏的变量（潜在状态），这些变量可以用于生成观察值。我们可以进一步将这个模型构造成神经网络结构，其中编码器模型（encoder）学习从$x$到$z$的映射，解码器模型（decoder）学习从$z$到$x$的映射。

KL散度
KL散度是两个概率分布的差值，要想保证$q(z|x)$与$q(z|x)$尽可能相似，我们的目的即是最小化这个KL散度：
$$minKL(q(z|x)||p(z|x))$$
转换一下，通过最大化下式，即最小化了上式：
$$E_{q(z|x)}logp(z|x)-KL(q(z|x)||p(z))$$
其中，$E_{q(z|x)}logp(z|x)$表示重构的可能性，$minKL(q(z|x)||p(z|x))$表示要学习的分布$q(z|x)$有多逼近真实的后验分布$p(z|x)$.

损失函数
损失函数包含两部分：
$$L(x,\hat{x})+KL(q(z|x)||p(z))$$

分布标准化处理
有博主把这一部分写得非常清楚，借鉴一部分过来供大家理解学习，出处附在参考资料中。

重参数技巧（reparameterization trick）
为什么要用重参数技巧？在decoder过程中，我们要从$p(z|x)$中采样一个$z$出来，尽管采样的结果$p(z|x)$是一个分布（已知高斯分布的参数，故可求导训练），但是随机采样这个过程是不可求导训练的。
如何解决这个问题？用重参数技巧。从$N(\mu,\sigma^2)$中采样一个$z$出来，相当于从$N(0,I)$中采样一个$\epsilon$出来，然后做参数的线性变换让$z=\mu+\epsilon\times\sigma.$

图生成模型：变分图自编码器（VGAE）

主要思想
将变分自编码器（VAE）迁移到图领域中（graph），将已知图通过图卷积层（GCN）编码（decoder），学习到节点向量表示的分布，在分布中采样得到节点的向量表示，然后解码（link prediction）重构图。

模型结构

输入：邻接矩阵A和特征矩阵X
过程：通过编码器（图卷积网络）学习节点低维向量表示的均值$\mu$和方差$\sigma$，然后用解码器（链路预测）生成图。
编码器是简单的两层GCN网络：
$$q(Z|X,A)=\sum_{i=1}^N q(z_i|X,A)$$
其中，$q(z_i|X,A)=N(z_i|\mu_i,diag(\sigma^2))$，$\mu$是节点向量表示$\mu = GCN_{\mu}(X,A)$的均值，$\sigma$是节点向量表示的方差$log\sigma=GCN_\sigma(X,A)$。
两层卷积网络定义如下：
$$GCN(X,A)=\widetilde{A} ReLU(\widetilde{A}XW_0)W_1$$
其中，$\widetilde{A}=\widehat{D}^{-\frac{1}{2}}\widehat{A}\widehat{D}^{-\frac{1}{2}}$，$\widehat{A}=A+I$，$\widehat{D}$是$\widehat{A}$对应的度矩阵。
值得注意的是，$GCN_{\mu}(X,A)$和$GCN_\sigma(X,A)$共享参数$W_0$，而各自的$W_1$不同。采样过程和VAE相同，都是用了重参数技巧（reparameterization trick）。

解码器两两计算两点间存在边的概率来重构图：
$$p(A|Z)=\sum_{i=1}^N\sum_{i=1}^Np(A_{ij}|z_i, z_j)$$
故有，$p(A_{ij}=1|z_i,z_j)=sigmoid(z_i^Tz_j)$。

损失函数
损失函数包含两部分：生成图和原始图之间的距离度量、节点表示向量分布和正态分布的散度。
$$L=E_q(Z|X,A)[logp(A|Z)]-KL[q(Z|X,A)||P(Z)]$$
其中，$E_q(Z|X,A)[logp(A|Z)]$是交叉熵损失函数。

理解到VAE的思想后，理解VGAE就会稍轻松一些，VAE用在CV领域比较多，通过生成模型生成具有相似特征的图像，但是将VAE应用到graph领域，有什么价值呢？在前面的推导中，VGAE得到图节点编码后，两两计算节点间存在边的概率大小，基于此重构图。可以看到，VGAE其实有做链路预测（link prediction） 的作用，举个简单的例子：在推荐系统中，通过重构图来捕获user与item之间可能的connection。

补充：图自编码器（GAE）

除了VGAE，还有GAE模型——图自编码器，GAE同样在VGAE这篇paper中提出了。
编码器仍然是两层GCN网络：
$$Z=GCN(X,A)$$
解码器通过两两计算两点间存在边的概率来重构图：
$$\widetilde{A}=sigmoid(ZZ^T)$$
损失函数衡量了生成图和原始图之间的差异值：
$$L=E_{q(Z|X,A)}[logp(A|Z)]$$
可以发现，GAE与VGAE相比少了变分，即少了概率表征这一特点，所以损失函数中不需要再加入KL散度。